FORMAS: CLAVES PARA COMPRENDER EL MUNDO
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A nuestro alrededor, el mundo toma forma. Partiendo por nosotros mismos, las moléculas de los elementos de nuestro planeta se reúnen en estructuras para dar origen a materiales, a espacios, a paisajes, a la vida. El mundo, tal como lo conocemos, existe porque existen las formas. Y nosotros, los seres humanos, también hemos aprendido a ver el mundo a través de sus formas, y a reconocerlas en estos "amasijos" de moléculas. La capacidad del ser humano de mirar más allá e intentar descubrir formas en la naturaleza o en las cosas que ve, ha sido muy provechosa para la ciencia y la matemática. Los primeros geómetras, probablemente de Egipto, Sumeria y Babilonia, observaron la realidad que los rodeaba, desarrollando conocimiento que les permitiera realizar efectivamente sus tareas, tal vez muy relacionadas con la arquitectura, de dar forma a construcciones humanas. Posteriormente, los griegos añadieron y sistematizaron este conocimiento empírico. Euclides (365-300 AC), en su libro Los Elementos, dio forma definitiva a este acervo. En los 13 capítulos de su obra, escribió sobre rectas, círculos, proporciones, magnitudes, figuras semejantes, números, y geometría plana y del espacio, recopilando los fundamentos de la matemática de su época. Estos principios reciben el nombre de Geometría Euclidiana. Tan importante fue el trabajo de Euclides, que su obra marcaría el estándar que rigió la enseñanza y el rigor matemático por más de 2000 años. Recién a principios del siglo 18, los matemáticos dieron los primeros pasos para construir una geometría no euclidiana. Círculos, triángulos, cuadrados y espirales, y su familia de tres dimensiones, han sido desde entonces formas presentes no sólo en la teoría matemática, sino también en la naturaleza y en las construcciones humanas. |
 Cadena de ADN |
ES ASÍ... ¿PORQUE SÍ? |
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¿Por qué los animales, los insectos, las plantas, los minerales, adoptan la forma que tienen? No todas las causas son explicables por la ciencia. Algunas preguntas sobre la forma han obtenido respuesta. Por ejemplo, ¿por qué hay mamíferos de todos los tamaños, pero los insectos siempre son pequeños? Porque los insectos, pese a ser los seres vivos más exitosos de la Tierra, tienen en la forma de su organismo una limitante para su crecimiento. Su esqueleto externo, su sistema circulatorio abierto, las características de sus sistemas nervioso y respiratorio, no le permiten a su estructura sobrevivir con un mayor tamaño. En cambio, los mamíferos contamos con un "diseño" interno más eficaz a la hora de definir nuestros tamaños, los cuales no dependen ya de las formas de nuestros sistemas. Sin embargo, hay otras preguntas que no han encontrado respuesta. ¿Por qué abundan en la naturaleza los espirales, o las formas pentagonales? Son interrogantes que plantean problemas no resueltos a los científicos, pese a que algunos han dado importantes pasos para su solución. El naturalista, biólogo y matemático escocés D’Arcy Thompson (1860-1948) publicó en 1917 el libro "Sobre el Crecimiento y la Forma". En él, planteó que las formas de los seres vivos y de algunos fenómenos se deben a aspectos físicos de los procesos biológicos: las fuerzas que intervienen en ellos, y las propiedades físicas de la materia en cuestión. |
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De acuerdo a la teoría de Thompson, las fuerzas físicas son las que forman directamente a los organismos, y los ideales de la geometría euclidiana predominan en las formas naturales, simplemente porque las "leyes naturales" favorecen la simplicidad como una óptima representación de esas fuerzas. Las formas ideales de la geometría ofrecen soluciones eficaces a problemas morfológicos. Así, el espiral que se repite en moluscos, cuernos de mamíferos y semillas de flores, es la manera más eficaz de agrupar, manteniendo la misma forma a medida que el tamaño aumenta. Bien podemos decir entonces que las formas naturales no son caprichosas, sino que buscan también la eficiencia. Las estrategias evolutivas favorecidas por las especies, se han basado en la adopción o preferencia de algunas formas funcionales: ciertas formas son más eficaces que otras para algunas funciones. |
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ECUACIONES Y FORMAS |
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D’Arcy Thompson es considerado por muchos científicos como el primero en realizar, desde un punto de vista integrador, un trabajo de unión entre disciplinas entonces tan apartadas como la matemática y la biología. Del mismo modo en que los primeros geómetras se basaron en observaciones de la naturaleza para desarrollar una teoría, así también la matemática ha contribuido a la comprensión de los por qué de las formas de seres vivos y de entidades no animadas, desde los mamíferos hasta el paisaje. No es extraño: la palabra "matemática" deriva del griego mathema, que significa conocimiento, comprensión, percepción. He aquí un hecho sorprendente: en el ordenamiento de las semillas del girasol, y en el patrón de crecimiento de las hojas de una lechuga, pueden subyacer los mismos principios matemáticos. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci. En 1202, el matemático italiano Leonardo Pisani, llamado Fibonacci, describió una sucesión numérica en la cual cada término es igual a la suma de los dos anteriores: 1,1,2,3,5,8,13,21... y así. Encontramos la sucesión de Fibonacci al analizar el espiral de crecimiento de una concha, el ordenamiento espiral de un cono de pino, el orden de crecimiento de las ramas de un árbol, la disposición de los pétalos de una flor... Los espirales organizados de acuerdo a la sucesión de Fibonacci han demostrado representar una excelente forma de llenar el espacio en sistemas en constante crecimiento. También hay ecuaciones matemáticas que, expresadas en la realidad, dan origen a formas visuales comunes para nosotros, como las dunas de arena o el doblez de una plancha de acero. Cuando una placa de acero se encuentra sometida a una fuerza mayor a la que puede soportar, se dobla. Los físicos llaman a este fenómeno "pandeo". Pero las placas no sufren un pandeo "desordenado"; al contrario, se puede observar la formación de una estructura regular compuesta por rombos. |
CAÓTICAS, PERO ORDENADAS |
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Algunos científicos han señalado que los tres grandes legados de la matemática del siglo pasado fueron la Teoría de la Relatividad, la Mecánica Cuántica y la Teoría del Caos. La Teoría del Caos surgió cuando los científicos comenzaron a preguntarse por el posible orden en las cosas que a primera vista resultaban desordenadas. ¿Podría encontrarse algún patrón de desarrollo en estructuras aparentemente tan desordenadas como la línea costera de un país, o el sistema circulatorio humano, o las dendritas de una neurona? La ciencia ha respondido afirmativamente. Un fenómeno aparentemente desordenado puede responder a una estructura interna. El desorden aparente en los sistemas caóticos, se debe a que, ante unas condiciones iniciales similares, una pequeña diferencia o perturbación inicial da origen a comportamientos completamente distintos. De ahí que se les llame también sistemas dinámicos no lineales. |
 Fractal: El Conjunto de Mandelbrot es la primera figura fractal, creada por este científico |
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Una de las expresiones más bellas de la dinámica no lineal son los fractales, aparentemente complejas formas matemáticas que pueden construirse de manera muy simple. La geometría fractal fue descrita por primera vez por el matemático Benoit Mandelbrot, en su libro "Los Objetos Fractales. Forma, azar y dimensión", de 1975. Esta geometría ha sido capaz de describir las formas de la naturaleza de manera más eficaz que la geometría euclidiana, la cual no alcanzaba a represenar a aquéllas adecuadamente. El curso de un río, ¿es una recta?, ¿un rectángulo?, ¿un espiral? La forma de una coliflor, ¿son esferas y cilindros? Ninguna de las anteriores parece ser la respuesta, pero si las figuras fractales. Una de las características de las estructuras fractales, es uqe son autosimilares: cada pequeña porción de un fractal se ve como una réplica a escala reducida de la totalidad de la figura. Esta característica se encuentra en las formas de distintos sistemas anatómicos: el sistema circulatorio, los bronquios, las neuronas. Incluso, la red de tejidos que conduce los impulsos eléctricos al corazón es fractal. Los fractales también están presentes en la geología (la línea costera de un país, las cadenas montañosas), en el mundo vegetal (las ramas de un árbol, las coliflores), en un copo de nieve, en los desarrollos de poblaciones. Recién en el siglo pasado, Mandelbrot nos abrió la posibilidad de comprender las formas en la naturaleza desde otra perspectiva. Gracias a la creatividad y a la capacidad de observación de muchos hombres y mujeres como él, a través de los siglos la ciencia nos ha acercado a la comprensión de nuestro mundo. Las formas, simples o complejas, geométricas o fractales, múltiples o únicas, han sido también el detonante y la llave del desarrollo del conocimiento científico de los seres humanos, que las admiramos diariamente. |
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¿UN EGIPCIO EN MARTE? |
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  Caras de Marte: A la izquierda, la fotografía obtenida por la nave Viking en 1976. A la derecha, la fotografía de 2001. |
Tan habituados estamos a ver o dar forma a lo que percibimos, que nuestra observación tiende a "reconocer" formas en todo. Así, por ejemplo, cuando miramos las nubes, solemos relacionar sus formas con otras conocidas, como animales o personas. En 1976, mientras exploraba zonas de Marte aptas para el posible aterrizaje de naves terrestres en un área llamada Cidonia, la nave espacial Viking I captó la imagen de una extraña formación rocosa con la apariencia de un rostro humano, muy similar a las representaciones que los antiguos egipcios hacían de sus faraones. La polémica no se hizo esperar: ¿podía existir vida inteligente en Marte, capaz de construir edificaciones tan extensas? (la formación mide cerca de 3 kilometros de largo). Los científicos señalaron que la supuesta cara correspondía a una meseta, relieve geográfico muy abundante en Cidonia. La fotografia, dijeron, no era sino el resultado de la unión de una iluminación y ángulo de toma muy particulares. |
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Pese a las explicaciones oficiales de la NASA, la "cara de Marte" rápidamente se transformó en un ícono de la cultura popular: apareció en revistas, programas de radio y ¡hasta en una película! Fue necesario otro viaje, esta vez de la nave Mars Global Surveyor, en abril de 1998, para que se descartaran las hipótesis extrañas. Una nueva fotografía, un año después, reconfirmó que en Cidonia había sólo rocas, arena y un imponente paisaje de relieves, sin relación con un rostro humano. |
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LOS COLORES DE LA MÚSICA |
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Las formas no sólo tienen una naturaleza visual: el ser humano no sólo reconoce formas a través de los ojos. El oído, por ejemplo, también es un reconocedor. Más de alguna vez nos sucede que podemos adivinar el final de una melodía sin haber escuchado antes la canción, porque ella tiene una forma reconocible. La forma reconocible de la música está en su estructura. |
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Distintos compositores en distintas épocas han creado obras que tienen la misma estructura, si las analizamos en términos de frecuencias. La música tiene una propiedad, su potencia de audio, que es la cantidad de energía que se emite en forma de ondas sonoras, por cada segundo que se toca esa música. Al medir cómo se estructura esa cantidad, en términos de la frecuencia, se obtiene el llamado espectro de la música. Los especialistas han definido tres espectros musicales: el blanco, el café y el rosa. En la música de espectro blanco, las notas están puestas completamente al azar y no dependen unas de otras. Si escucháramos este tipo de música, la encontraríamos desorganizada y sorprendente, sin ningún patrón o forma. En el otro extremo, la música de espectro café, cada nota y su duración dependen altamente de las notas anteriores. Luego de escuchar un poco de esta música, el resto nos parecerá previsible: adivinaremos su forma. Entre estos dos extremos está la música de espectro rosa: las notas y su duración nos sorprenden, pero también podemos "vislubrar" su forma. La gran mayoría de las composiciones musicales históricamente exitosas, interesantes para el público y que han trascendido a sus épocas y creadores, es de espectro rosa. Y todas comparten la cantidad de su potencia de audio por frecuencias. |
 Escuchando el Pasado - Jaime Hernández, UACH |
PARA ENTRENAR EL OJO |
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Pese a que todos los días estamos mirando a nuestro alrededor, son pocas las veces en que nos fijamos realmente en las formas que nos rodean. El científico basa su trabajo en la observación de su entorno. ¿Podríamos comenzar "afinando" nuestra mirada sobre él? EXPLORA les propone dos actividades, sencillas pero de resultados sorprendentes. 1. A la caza de letras o de números en la naturaleza. Las letras y los números son formas caprichosas creadas por el ser humano, pero podemos encontrarlas en la naturaleza: en ramas de árboles, en flores, en insectos. Es un buen tema para un concurso de fotografía.
2. El ser humano es un creador de formas. Su inspiración muchas veces estuvo en la naturaleza. Un ejemplo son las hermosas catedrales góticas del medioevo europeo, que se inspiraron en la figura del árbol para la construcción de sus grandiosos pilares, que sujetan las altísimas bóvedas de este estilo arquitectónico. ¿Pueden buscar en su entorno formas creadas por la Humanidad, y asociarlas a sus inspiradores naturales? |
BIBLIOGRAFÍA |
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SITIOS EN INTERNET
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